小升初奥数高频考点解析与实战演练

【来源：易教网 更新时间：2025-06-11】

一、工程问题：合作与效率的博弈

知识点精讲

工程问题的核心是工作量、效率、时间三者的关系，通常以"工作总量=效率×时间"为基本公式。在涉及多人或多方合作时，需将各自效率相加；若中途有人退出，则需分段计算工作量。

典型例题解析

例1

题目：一件工作，甲、乙两人合作30天完成，共同工作6天后甲离开，乙继续工作40天完成。问甲、乙单独完成各需多少天？

解析步骤：

1. 设总工作量为单位"1"，甲效率为\( \frac{1}{x} \)，乙效率为\( \frac{1}{y} \)

2. 合作效率为\( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{30} \)

3. 前6天共同完成\( 6(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \)

4. 剩余工作量\( 1-\frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)由乙单独完成，耗时40天

5. 得方程：\( 40 \times \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \Rightarrow y=50 \)

6. 代入合作效率方程得\( x=75 \)

答案：甲单独需75天，乙单独需50天

实战演练

题2

甲队单独完成工程需10天，乙队需30天。两队合作期间，甲队休息2天，乙队休息8天（未同日休息）。问总工期多少天？

提示：设总工期为\( t \)天，则甲实际工作\( t-2 \)天，乙实际工作\( t-8 \)天。根据工作量列方程：

\[\frac{t-2}{10} + \frac{t-8}{30} = 1\]

二、追及问题：速度与距离的较量

知识点精讲

追及问题的核心公式为：

追及时间 = 路程差 ÷ 速度差

当两物体同向运动时，速度较快的物体需弥补初始距离差才能追上对方。

典型例题解析

例3

题目：甲车长170米（23m/s），乙车长130米（18m/s）。甲从后追乙，完全超过需多少秒？

解析步骤：

1. 追及总路程为两车长度之和：\( 170+130 = 300 \)米

2. 速度差为\( 23-18 = 5 \)m/s

3. 时间\( t = \frac{300}{5} = 60 \)秒

答案：60秒

实战演练

题4

甲、乙两地相距100千米。汽车出发时，拖拉机已行15千米；汽车到达乙地时，拖拉机距乙地10千米。问汽车在何处追上拖拉机？

提示：

1. 汽车全程用时\( \frac{100}{v_{汽}} \)，此时拖拉机行驶\( 15 + v_{拖} \times \frac{100}{v_{汽}} = 90 \)千米

2. 解得\( v_{汽} = 2v_{拖} \)，追及时满足\( v_{汽}t = v_{拖}t +15 \)，代入后得追及点距乙地\( 50 \)千米

三、火车过桥：时空的精确计算

知识点精讲

火车过桥（或隧道）时，总路程为：

桥长 + 车长

计算时间时需注意：

- 车头进入至车尾离开

- 速度单位统一转换（如米/秒与千米/小时）

典型例题解析

例5

题目：火车长240米，速度15m/s。从车头进山洞到全车出洞用20秒，求山洞长度？

解析步骤：

1. 总路程\( S = v \times t = 15 \times 20 = 300 \)米

2. 山洞长\( S - 车长 = 300 -240 = 60 \)米

答案：60米

实战演练

题6

火车长200米，通过700米大桥需30秒，求火车速度？

提示：总路程\( 200+700 = 900 \)米，速度\( \frac{900}{30} = 30 \)米/秒

四、综合应用：复杂情境下的策略突破

典型例题解析

例7

题目：甲、乙两车从A、B相向而行，首次在距B地54千米处相遇，到达对方车站后立即返回，第二次相遇在距A地42千米处。求A、B两地距离？

解析步骤：

1. 第一次相遇时，两车共行\( S \)，甲行\( S-54 \)，乙行54千米

2. 第二次相遇时，共行\( 3S \)，甲行\( 2S-42 \)，乙行\( 2S-54 \times 2 \)

3. 根据路程比得\( \frac{S-54}{54} = \frac{2S-42}{2S-108} \)

4. 解得\( S = 90 \)千米

答案：A、B相距90千米

五、高频考点总结与拓展

重点题型归纳

能力提升建议

类型	核心公式	关键技巧
工程问题	工作量=效率×时间	设单位"1"，分段计算
追及问题	追及时间=路程差/速度差	明确相对运动关系
火车过桥	总路程=桥长+车长	注意起止点定义

1. 建模训练：将实际问题转化为数学模型（如设未知数、列方程）

2. 单位统一：时刻注意速度、时间、距离的单位一致性

3. 分段分析：复杂问题采用分阶段处理（如工程问题中途退出）

答案与解析

题2：总工期\( t = 6 \)天

题4：汽车在距乙地50千米处追上拖拉机

题6：火车速度30米/秒