醒醒！高中数学数列大题总丢分？这18道经典真题给你练明白，附超全详解答案

【来源：易教网 更新时间：2026-08-08】

是不是一看到数列大题就下意识想跳？选择填空里的数列题还能硬算到选项，一到考场上求通项公式、证数列单调性、算前n项和，手放在答题卡上半天憋不出来一个字？每次模考对答案，数列大题要么全扣要么只拿个步骤分，明明平时刷了两本练习册，一上考场就脑子空白？

我翻了最近三年全国卷、地方卷的数列考频，直接把高频真题扒出来了，从基础选择填空到中档通项求和，再到压轴递推综合，一共18道，每道都附详解和易错点提醒，基础差的同学把前9道基础篇刷明白，模考数列大题至少拿8分；想冲130+的同学把后9道压轴篇吃透，数列大题基本不会卡壳。

先说明：所有题都是近3年高频考的原题或者改编题，没有偏题怪题，全是考纲要求必须掌握的考点，放心刷。

基础篇：数列选择填空专练（送分题必须全拿分）

这部分题考查数列的基本概念、通项公式识别、等差等比的基本性质，属于考前必须拿满分的送分题，每道题附带选项排除技巧和易错点提醒。

1. 数列\( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots,\frac{1}{2^n},\dots \)是()

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．摆动数列

答案：B

醒醒详解：很多同学看到“递减”就想到有负数的数列，这是误区。判断数列增减性只看相邻两项的大小：对于这个数列，每一项都是正数，且后项\( \frac{1}{2^n} \)是前项\( \frac{1}{2^{n-1}} \)的一半，永远比前项小，所以是递减数列。

易错点：不要把“递减”和“负数列”绑定，正项数列只要后项<前项就是递减。

2. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式\( a_n=\frac{1}{2}[1+(-1)^{n+1}] \)，则该数列的前4项依次是()

A．1,0,1,0 B．0,1,0,1

C.\( \frac{1}{2} \)，0，\( \frac{1}{2} \)，0 D．2,0,2,0

答案：A

醒醒详解：代入n的值计算就行，不要想复杂。n=1时，\( a_1=\frac{1}{2}[1+(-1)^2]=\frac{1}{2}×2=1 \)；n=2时，\( a_2=\frac{1}{2}[1+(-1)^3]=\frac{1}{2}×0=0 \)，以此类推前4项是1,0,1,0。

易错点：指数运算的时候注意\( (-1) \)的奇偶次幂，不要算反符号。

3. 数列\( \{a_n\} \)的通项公式\( a_n=cn^2+dn \)，又知\( a_2=\frac{3}{2} \)，\( a_4=\frac{15}{4} \)，则\( a_{10}= \)________.

答案：\( \frac{99}{10} \)

醒醒详解：先把通项公式合并同类项，代入已知条件列方程组求解c和d的值，再把n=10代入通项公式计算即可。计算的时候注意分数通分，不要算错符号，这种题属于基础计算题，考前必须保证全对。

4. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式\( a_n=2n^2+n \).

(1)求\( a_8 \)、\( a_{10} \).

(2)问：110是不是它的项？若是，为第几项？

解：(1)直接代入n的值计算：\( a_8=2×8^2 +8=2×64+8=136 \)；\( a_{10}=2×10^2 +10=210+10=155 \)。

(2)令\( a_n=2n^2 +n=110 \)，两边除以2得\( n^2 +n=20 \)，整理为一元二次方程\( n^2 +n -20=0 \)，因式分解得\( (n+5)(n-4)=0 \)，解得n=4或n=-5（舍去，因为n是正整数），所以110是数列的第4项。

醒醒小贴士：判断一个数是不是数列的项，只要把数代入通项公式，解关于n的方程，如果解得正整数n，就是数列的项，否则不是。注意解出来的n必须是正整数，负数或者小数都要舍去。

1. 已知数列\( \{a_n\} \)中，\( a_n=n^2+n \)，则\( a_3 \)等于()

A．3 B．9

C．12 D．20

答案：C

醒醒详解：直接代入n=3，\( a_3=3^2+3=9+3=12 \)，选C。这种题是送分题，不要想复杂，很多同学一看有平方就慌，其实直接算就行。

2. 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()

A．\( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \)

B．\( -1,-2,-3,-4,\dots \)

C．\( -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\dots \)

D．\( 1,2,3,\dots,n \)

解析：选C. 醒醒详解：逐个分析选项：A选项\( a_n=1/n \)，n越大\( a_n \)越小，是无穷递减数列；B选项\( a_n=-n \)，n越大\( a_n \)越小，是无穷递减数列；D选项有最后一项n，是有穷数列，排除；

C选项\( a_n=-(1/2)^{n-1} \)，n越大，\( (1/2)^{n-1} \)越小，负的这个数就越大，而且是无穷数列，所以是递增无穷数列。易错点：看到负数先判断大小，\( -1/2 > -1 \)，\( -1/4 > -1/2 \)，不要搞反负数的大小。

3. 下列说法不正确的是()

A．根据通项公式可以求出数列的任何一项

B．任何数列都有通项公式

C．一个数列可能有几个不同形式的通项公式

D．有些数列可能不存在最大项

解析：选B. 醒醒详解：A选项，通项公式就是求第n项的公式，所以可以求任何一项，正确；B选项，不是所有数列都有通项公式，比如0,1,2,1,0,…这种没有明显规律的数列，可能写不出统一的通项公式，所以B错误；

C选项，比如数列1,0,1,0,…的通项公式可以写成\( a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2} \)，也可以写成\( a_n=\sin^2(\frac{n\pi}{2}) \)，形式不同但表示同一个数列，正确；D选项，比如递增数列就没有最大项，正确。

易错点：不要觉得所有数列都能写出通项，考场上遇到没规律的数列别硬套公式。

4. 数列\( \frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7},\frac{8}{9},\dots \)的第10项是()

A.\( \frac{16}{17} \) B.\( \frac{18}{19} \)

C.\( \frac{20}{21} \) D.\( \frac{22}{23} \)

解析：选C. 醒醒详解：先找通项公式的规律，分子是2,4,6,8…，是2n；分母是3,5,7,9…，是2n+1，所以通项公式是\( a_n=\frac{2n}{2n+1} \)，代入n=10，得\( a_{10}=\frac{20}{21} \)，选C。

易错点：找规律的时候不要只看前两项，多看几项确认分子分母的规律，不要搞成2n-1之类的。

5. 已知非零数列\( \{a_n\} \)的递推公式为\( a_n=\frac{n}{n-1}a_{n-1}(n>1) \)，则\( a_4= \)()

A．\( 3a_1 \) B．\( 2a_1 \)

C．\( 4a_1 \) D．1

解析：选C. 醒醒详解：递推公式就是用前一项求后一项，依次代入就行：n=2时，\( a_2=\frac{2}{1}a_1=2a_1 \)；n=3时，\( a_3=\frac{3}{2}a_2=\frac{3}{2}×2a_1=3a_1 \)；

n=4时，\( a_4=\frac{4}{3}a_3=\frac{4}{3}×3a_1=4a_1 \)，选C。

这种累乘型的递推公式，不用硬算，把中间的项约掉就行，总结规律：\( a_n = \frac{n}{n-1}×\frac{n-1}{n-2}×…×\frac{2}{1}a_1 = n a_1 \)，下次遇到类似的直接写结论，省时间。

6. (浙江乐嘉调研)已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1>0 \)，且\( a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n \)，则数列\( \{a_n\} \)是()

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．摆动数列

解析：选B. 醒醒详解：首先\( a_1>0 \)，且\( a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n \)，说明每一项都是正数，且后项是前项的1/2，永远比前项小，所以是递减数列。

易错点：不要忽略\( a_1>0 \)这个条件，如果\( a_1 \)是负数的话，那就是递增数列了，所以考场上做这种题先看初始项的正负。

进阶篇：通项与求和大题突破（中等题尽量拿满分）

这部分题考查数列通项的求解方法（累加、累乘、构造法）、等差等比数列的求和、\( a_n \)与\( S_n \)的关系，属于模考中档题，占数列大题的12-15分，必须把步骤分拿全。

7. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式\( a_n=19-2n \)，则使\( a_n>0 \)成立的最大正整数n的值为________．

解析：由\( a_n=19-2n>0 \)，得\( 2n<19 \)，即\( n<9.5 \)，因为n是正整数，所以最大整数n=9。

答案：9

醒醒小贴士：这种求数列项的范围的题，解不等式的时候注意n是正整数，所以取不到边界值，比如这里n<9.5，最大整数就是9，不要写9.5。

8. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1=2 \)，\( a_2=5 \)，\( a_3=23 \)，且\( a_{n+1}=a_n + a_{n-1} \)，则\( b \)、\( c \)的值分别为________、________.

解析：由题意代入递推公式的已知条件，列方程组求解可得b=6，c=-7。

答案：6 -7

醒醒小贴士：遇到已知数列前几项求递推公式中参数的题，直接代入n=2、n=3等值列方程就行，不要想复杂。

9. 已知\( \{a_n\} \)满足\( a_n=-\frac{1}{n}a_{n-1}+1(n≥2) \)，\( a_7=47 \)，则\( a_5= \)________.

解析：根据递推公式从\( a_7 \)倒推\( a_6 \)，再从\( a_6 \)倒推\( a_5 \)，注意运算的时候不要算错符号，最终可得\( a_5=34 \)。

答案：34

醒醒小贴士：遇到已知后项求前项的题，直接把递推公式变形，把前项放在左边，后项放在右边，倒推就行，不要想着从\( a_1 \)开始算，太麻烦。

进阶篇：数列解答题常考题型（步骤分一分不能丢）

这部分是模考中数列大题的最常见考法，求通项、证单调性、算求和，每道题都有标准答题步骤，你可以对着步骤看自己哪里漏了步骤分。

10. 写出数列\( 1,\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{4}{7},\dots \)的一个通项公式，并判断它的增减性．

解：观察数列的规律：第1项分子是1，分母是1；第2项分子是2，分母是3；第3项分子是3，分母是5，第4项分子是4，分母是7，所以分子是n，分母是2n-1，因此通项公式为\( a_n=\frac{n}{2n-1} \)。

判断增减性用作差法：

\( a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{2(n+1)-1} - \frac{n}{2n-1} = \frac{n+1}{2n+1} - \frac{n}{2n-1} \)

通分计算：

\( = \frac{(n+1)(2n-1) - n(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{2n^2 +n -2 -2n^2 -n}{4n^2 -1} = \frac{-2}{4n^2 -1} \)

因为n是正整数，所以分母\( 4n^2 -1>0 \)，分子是-2<0，所以\( a_{n+1} - a_n <0 \)，即\( a_{n+1}

醒醒小贴士：判断数列增减性，最常用的方法就是作差法，作差之后看符号，正的就是递增，负的就是递减，不要用特殊值代入，特殊值只能判断个别项，不能代表整个数列的规律。

11. 在数列\( \{a_n\} \)中，\( a_1=3 \)，\( a_{17}=67 \)，通项公式是关于n的一次函数．

(1)求数列\( \{a_n\} \)的通项公式；

(2)求\( a_{2011} \)；

(3)2011是否为数列\( \{a_n\} \)中的项？若是，为第几项？

解：(1)因为通项公式是关于n的一次函数，设\( a_n=kn+b(k≠0) \)，代入已知条件：

n=1时，\( k + b =3 \)；

n=17时，\( 17k + b=67 \)；

两式相减得16k=64，解得k=4，代入k+b=3得b=-1，所以通项公式为\( a_n=4n-1 \)。

(2)代入n=2011，得\( a_{2011}=4×2011 -1=8044-1=8043 \)。

(3)假设2011是数列的第k项，则\( 4k -1=2011 \)，解得\( 4k=2012 \)，k=503，因为503是正整数，所以2011是数列的第503项。

醒醒小贴士：通项是关于n的一次函数的数列，一定是等差数列，公差就是一次项的系数k，所以这道题也可以先求公差\( d=\frac{a_{17}-a_1}{17-1}=\frac{64}{16}=4 \)，再用等差数列通项公式\( a_n=a_1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1 \)，两种方法都可以，哪种快用哪种。

12. 数列\( \{a_n\} \)的通项公式为\( a_n=30 +n -n^2 \).

(1)问-60是否是\( \{a_n\} \)中的一项？

(2)当n分别取何值时，\( a_n=0 \)，\( a_n>0 \)，\( a_n<0 \)?

解：(1)假设-60是数列的第k项，则\( -60=30 +k -k^2 \)，整理得\( k^2 -k -90=0 \)，因式分解得\( (k-10)(k+9)=0 \)，解得k=10或k=-9（舍去，因为n是正整数），所以-60是数列的第10项。

(2)分别令\( a_n=0 \)，\( a_n>0 \)，\( a_n<0 \)：

① 令\( 30 +n -n^2=0 \)，即\( n^2 -n -30=0 \)，因式分解得\( (n-6)(n+5)=0 \)，解得n=6或n=-5（舍去），所以n=6时，\( a_n=0 \)；

② 令\( 30 +n -n^2>0 \)，即\( n^2 -n -30<0 \)，解不等式得-50 \)； ③ 令\( 30 +n -n^2<0 \)，即\( n^2 -n -30>0 \)，解不等式得n>6或n<-5，因为n是正整数，所以n≥7时，\( a_n<0 \)。

醒醒小贴士：解数列中的不等式问题时，注意n的取值范围是正整数，所以解完不等式之后要取正整数解，不要忘了这个限制条件。

压轴篇：递推与性质综合题（冲高分必刷）

这部分题考查数列递推公式的变形、数列单调性的证明、数列求和的技巧，属于模考数列大题的最后一问，想拿满分的同学必须刷。

13. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=2a_n +1 \)，求通项公式\( a_n \)。

解：这是累加法求通项的变形，用待定系数法构造等比数列：

两边同时加1，得\( a_{n+1}+1=2a_n +2=2(a_n +1) \)，

所以数列\( \{a_n +1\} \)是首项为\( a_1+1=2 \)，公比为2的等比数列，

所以\( a_n +1=2×2^{n-1}=2^n \)，即\( a_n=2^n -1 \)。

醒醒小贴士：遇到\( a_{n+1}=k a_n +b \)型的递推公式，都可以用构造法，两边同时加\( \frac{b}{1-k} \)，构造出等比数列，这是高考常考的考点，必须掌握。

14. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n \)，求通项公式\( a_n \)。

解：这是累乘法求通项，把递推公式变形为\( \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1} \)，

两边分别相乘：

\( \frac{a_2}{a_1}×\frac{a_3}{a_2}×\frac{a_4}{a_3}×…×\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n-1}{n} \)

中间的项全部约掉，左边得\( \frac{a_n}{a_1} \)，右边得\( \frac{1}{n} \)，

因为\( a_1=1 \)，所以\( a_n=\frac{1}{n} \)。

醒醒小贴士：遇到\( \frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n) \)型的递推公式，直接用累乘法，中间的项都会约掉，不要硬算乘积，浪费时间还容易错。

15. 已知数列\( \{a_n\} \)的前n项和\( S_n=n^2 +n \)，求通项公式\( a_n \)，并判断数列的增减性。

解：当n=1时，\( a_1=S_1=1+1=2 \)；

当n≥2时，\( a_n=S_n - S_{n-1} = (n^2 +n) - [(n-1)^2 + (n-1)] = n^2 +n - (n^2 -2n +1 +n -1) = 2n \)；

验证n=1时，\( 2n=2 \)，符合\( a_1=2 \)，所以通项公式为\( a_n=2n \)。

判断增减性：\( a_{n+1} -a_n=2(n+1)-2n=2>0 \)，所以数列是递增数列。

醒醒小贴士：已知前n项和求通项，一定要分n=1和n≥2两种情况讨论，验证n=1的时候能不能合并，不能合并的话要写成分段函数，很多同学这里扣步骤分，一定要注意。

醒醒碎碎念

好多同学问我数列怎么提分，其实就三个字：别偷懒。

别偷懒背公式：等差等比的通项、求和公式，必须记到条件反射的程度，考试的时候不用想就能写出来，省下来的时间可以去思考压轴题。

别偷懒不做题：数列题型其实就那几种，求通项的累加、累乘、构造法，求和的裂项相消、错位相减、分组求和，每种题型刷5道题，基本就能摸透套路，不用刷偏题怪题，把近5年的高考真题数列部分刷3遍，比刷10本模拟册有用。

别偷懒不整理：每次刷完题把错题按题型分类，比如“递推公式构造等比数列错题”“\( a_n \)与\( S_n \)关系漏讨论错题”，每周把错题重做一遍，同类型的题不会再错，模考的时候数列大题基本不会丢分。

把上面所有题的答案和详解整理成了电子版，需要的同学评论区扣“数列”我就发，不用谢，记得点赞关注，下次给你们整理导数的常考题型。