小升初数学核心知识点速记手册｜吃透这六类题型，计算题稳拿分

【来源：易教网 更新时间：2026-09-04】

一、为什么数列求和总是丢分？先把等差数列的底层逻辑理清楚

很多孩子一看到"求和"两个字就头大，其实等差数列的题目套路特别固定，核心就是把\( a_1 \)、\( a_n \)、\( d \)、\( n \)、\( S_n \)这五个量之间的关系搞清楚。

等差数列的定义很简单：相邻两个数之间的差始终保持不变。比如\( 2, 5, 8, 11, 14 \)，相邻两项的差都是\( 3 \)，这就是一个典型的等差数列。

其中第一个数\( a_1=2 \)叫做首项，公差\( d=3 \)就是相邻两项的差，\( n=5 \)表示项数，第5个数\( 14 \)就是末项\( a_n \)，把这五个数加起来得到\( 40 \)，就是数列和\( S_n \)。

等差数列里有一个核心思想：通项公式涉及\( a_1 \)、\( a_n \)、\( d \)、\( n \)这四个量，求和公式涉及\( a_1 \)、\( a_n \)、\( n \)、\( S_n \)这四个量。也就是说，五个量里只要知道任意三个，就能把剩下的两个求出来。

几个公式一定要记牢：

通项公式：\( a_n = a_1 + (n-1)d \)，可以理解成"首项加上（项数减一）个公差"。

求和公式：\( S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \)，即"（首项加末项）乘以项数再除以二"。

项数公式：\( n = \dfrac{(a_n - a_1)}{d} + 1 \)。

公差公式：\( d = \dfrac{(a_n - a_1)}{(n-1)} \)。

做题的时候，第一步要先把已知量标出来，比如题目告诉你"首项是3，公差是2，求第10项"，那\( a_1=3 \)，\( d=2 \)，\( n=10 \)，直接代入通项公式就能算出\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 21 \)。

如果是"已知首项是1，公差是2，求前10项的和"，那就是\( S_{10} = \dfrac{(1 + 19) \times 10}{2} = 100 \)。

遇到看不出项数的题目，比如"已知\( a_1=2 \)，\( d=3 \)，\( a_n=29 \)，求\( n \)"，代入项数公式\( n = \dfrac{29-2}{3} + 1 = 10 \)，项数就出来了。

等差数列的题目变化再多，本质都是在考察这五个量之间的关系。只要养成先标量再选公式的习惯，这部分分数基本不会丢。

二、加法原理和乘法原理如何区分？这道分类讨论题讲透了

小升初考试里，加法原理和乘法原理是计数问题的基础。两者经常联合出题，很多孩子分辨不清，其实区分起来就一句话：分类用加法，分步用乘法。

加法原理的核心特征是"完成一件任务有\( n \)类方法"，每一类方法都能单独把任务完成。比如从北京到上海，可以坐飞机、坐高铁、坐汽车，这三种方式互不依赖，选哪种都能到达目的地，那么完成这件事就有"飞机的方式数+高铁的方式数+汽车的方式数"这么多种方法。

乘法原理的核心特征是"完成一件任务需要分成\( n \)个步骤"，每一步都是任务的一部分，必须一步一步都完成，任务才算结束。比如从北京到上海再到香港，要先从北京到上海，再从上海到香港，每一步都走完才能到达终点，那么完成这件事就有"北京到上海的方式数×上海到香港的方式数"这么多种方法。

来看一道经典例题：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，问从甲地到丙地共有多少条不同的路线？

这里"从甲地到乙地"是第一步，"从乙地到丙地"是第二步，必须两步都完成才能到达丙地，所以用乘法原理：\( 2 \times 3 = 6 \)条。

如果题目改成：从甲地到乙地有2条路，从甲地到丙地有3条路，问从甲地到乙地和丙地共有多少条不同的路线？

这里"去乙地"和"去丙地"是两类不同的任务，选一类就能完成，所以用加法原理：\( 2 + 3 = 5 \)条。

几何计数里的数线段、数角、数长方形问题，本质上也是加法原理的应用。

数线段的规律是：先数经过几个点，比如一条直线上有5个点，那么线段总数\( = 1+2+3+4 = 10 \)条。公式可以写成\( 1+2+3+\ldots+(点数-1) \)。

数角的规律和数线段类似：如果从一个点引出4条射线，那么角的总数\( = 1+2+3 = 6 \)个，公式是\( 1+2+3+\ldots+(射线数-1) \)。

数长方形有两种思路：如果长边上有5个点、宽边上有3个点，那么长方形的个数\( = 5 \times 3 = 15 \)个；如果是数正方形，可以用\( 1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 \)这样的规律。

做题的关键就是要先判断是"分类"还是"分步"，再选择对应的原理。

三、质数、合数、分解质因数——数论部分的入门基石

这一块是数论的起点，也是后面学约数倍数的基础，建议孩子们把概念记熟。

质数（也叫素数）的定义是：一个大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他约数，这样的数叫做质数。常见的质数有2、3、5、7、11、13、17、19等。需要注意的是，1既不是质数也不是合数。

合数和质数刚好相反：除了1和它本身之外，还有别的约数，这样的数叫做合数。比如4（约数有1、2、4）、6（约数有1、2、3、6）、8（约数有1、2、4、8）都是合数。

分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式。比如\( 12 = 2 \times 2 \times 3 \)，这里的2和3都是质数，所以是12的质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的，比如12只能分解成\( 2 \times 2 \times 3 \)，没办法分解成别的质因数组合。

分解质因数通常用短除法。比如要把30分解质因数，先用最小的质数2去除，\( 30 \div 2 = 15 \)；再用质数3去除，\( 15 \div 3 = 5 \)；5本身就是质数，除法结束。所以\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)。

求一个数约数个数的公式是：\( P = (r_1+1) \times (r_2+1) \times (r_3+1) \times \ldots \times (r_n+1) \)。

这里的\( r_1, r_2, \ldots, r_n \)是各个质因数的个数。比如\( 12 = 2^2 \times 3^1 \)，质因数2的个数是2，质因数3的个数是1，那么约数个数\( P = (2+1) \times (1+1) = 6 \)个。

验证一下：12的约数有1、2、3、4、6、12，确实是6个。

互质数的概念也很重要：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质。比如8和9，8的约数有1、2、4、8，9的约数有1、3、9，它们的最大公约数是1，所以8和9互质。需要注意，互质的两个数不一定都是质数，比如8是合数，9也是合数，但它们依然互质。

四、约数与倍数——小升初高频考点集合

约数和倍数的概念比较简单：如果整数\( a \)能够被\( b \)整除（\( b \neq 0 \)），那么\( a \)叫做\( b \)的倍数，\( b \)叫做\( a \)的约数。比如\( 12 \div 4 = 3 \)，所以12是4的倍数，4是12的约数。

几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做最大公约数。比如12的约数有1、2、3、4、6、12，18的约数有1、2、3、6、9、18，那么12和18的公约数有1、2、3、6，其中最大的6就是最大公约数，记作\( (12,18)=6 \)。

求最大公约数有三种常用方法：

第一种是分解质因数法。先把每个数分解成质因数相乘的形式，然后找出相同的质因数，连乘起来就是最大公约数。

比如\( 12 = 2^2 \times 3 \)，\( 18 = 2 \times 3^2 \)，相同的质因数是2和3，2取较少的个数（1个），3取较少的个数（1个），所以最大公约数\( = 2 \times 3 = 6 \)。

第二种是短除法。把几个数放在一起，用公有的约数去除，直到商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，就是最大公约数。

第三种是辗转相除法。例如求\( (24, 36) \)：\( 36 \div 24 = 1 \)余12，\( 24 \div 12 = 2 \)余0，那么最大公约数就是12。

公倍数和最小公倍数的概念类似。几个数公有的倍数叫做公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。12的倍数有12、24、36、48……，18的倍数有18、36、54、72……，它们公有的倍数有36、72、108……，最小的36就是最小公倍数，记作\( [12,18]=36 \)。

最小公倍数有两个重要性质需要记牢：

1. 两个数的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积，即\( a \times b = (a,b) \times [a,b] \)。比如\( 12 \times 18 = 6 \times 36 = 216 \)。

2. 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。比如12和18的公倍数36、72、108，都是36的倍数。

求最小公倍数也有两种方法：短除法和分解质因数法。思路和求最大公约数类似，把每个数分解质因数后，取每个质因数较多的个数，连乘起来就是最小公倍数。

五、数的整除——快速判断一个数能被谁整除

整除这部分内容，重点是掌握常用的整除判断方法，做题时能快速判断一个数能不能被某个数整除。

整除的定义：如果整数\( a \)除以自然数\( b \)（\( b \neq 0 \)），得到的商是整数且没有余数，那么\( a \)能被\( b \)整除，记作\( b|a \)。

常用的整除判断口诀：

1. 能被2、5整除：看末位。末位是0、2、4、6、8就能被2整除，末位是0或5就能被5整除。

2. 能被4、25整除：看末两位组成的数。比如1236，末两位是36，36能被4整除，所以1236能被4整除。

3. 能被8、125整除：看末三位组成的数。比如1232，末三位是232，232能被8整除，所以1232能被8整除。

4. 能被3、9整除：看各个数位上数字之和。比如123，数字之和是\( 1+2+3=6 \)，6能被3整除，所以123能被3整除；又比如123456789，数字之和是45，45能被9整除，所以原数也能被9整除。

5. 能被7整除有两种方法。第一种：末三位数字组成的数减去末三位以前的数字组成的数，差能被7整除。比如1001，末三位是001=1，末三位以前是1，\( 1-1=0 \)，0能被7整除，所以1001能被7整除。第二种：逐次去掉最后一位数字，并减去末位数字的2倍。

比如判断203能不能被7整除：去掉末位3，减去\( 3 \times 2 = 6 \)，\( 20 - 6 = 14 \)，14能被7整除，所以203能被7整除。

6. 能被11整除有三种方法。第一种：末三位数字组成的数减去末三位以前的数字组成的数，差能被11整除。第二种：奇数位上的数字和减去偶数位上的数字和，差能被11整除。

比如121，\( 1+1=2 \)（奇数位和），\( 2 \)（偶数位和），\( 2-2=0 \)，能被11整除，所以121能被11整除。第三种：逐次去掉最后一位数字，并减去末位数字。

比如判断1331：从右往左，\( 133 - 1 = 132 \)，\( 13 - 2 = 11 \)，\( 1 - 1 = 0 \)，都能被11整除。

7. 能被13整除的判断方法和7类似。末三位组成的数减去末三位以前的数字组成的数，差能被13整除；或者逐次去掉最后一位数字，减去末位数字的9倍。

整除还有几个重要性质：

- 如果\( a \)、\( b \)都能被\( c \)整除，那么\( a+b \)和\( a-b \)也能被\( c \)整除。

- 如果\( a \)能被\( b \)整除，\( c \)是整数，那么\( ac \)也能被\( b \)整除。

- 如果\( a \)能被\( b \)整除，\( b \)能被\( c \)整除，那么\( a \)也能被\( c \)整除（传递性）。

- 如果\( a \)能被\( b \)、\( c \)整除，那么\( a \)也能被\( b \)和\( c \)的最小公倍数整除。

六、余数与同余——奥数常客，掌握这些性质就够了

余数问题在小学奥数里出现频率很高，尤其是同余部分，是很多竞赛题的解题基础。

余数有几个基本性质：

1. 余数一定小于除数。比如\( 17 \div 5 = 3 \)余\( 2 \)，这里的余数2小于除数5。

2. 如果\( a \)、\( b \)除以\( c \)的余数相同，那么\( c \)能整除\( a-b \)或\( b-a \)。

3. \( a \)与\( b \)的和除以\( c \)的余数，等于\( a \)除以\( c \)的余数加上\( b \)除以\( c \)的余数，再除以\( c \)得到的余数。

4. \( a \)与\( b \)的积除以\( c \)的余数，等于\( a \)除以\( c \)的余数与\( b \)除以\( c \)的余数的积，再除以\( c \)得到的余数。

同余的概念：如果两个整数\( a \)、\( b \)除以\( m \)的余数相同，那么\( a \)和\( b \)对于模\( m \)同余。

比如\( 17 \div 5 = 3 \)余\( 2 \)，\( 12 \div 5 = 2 \)余\( 2 \)，所以17和12对于模5同余，记作\( 17 \equiv 12 \pmod{5} \)。

同余有七大性质：

1. 自身性：\( a \equiv a \pmod m \)。

2. 对称性：若\( a \equiv b \pmod m \)，则\( b \equiv a \pmod m \)。

3. 传递性：若\( a \equiv b \pmod m \)，\( b \equiv c \pmod m \)，则\( a \equiv c \pmod m \)。

4. 和差性：若\( a \equiv b \pmod m \)，\( c \equiv d \pmod m \)，则\( a+c \equiv b+d \pmod m \)，\( a-c \equiv b-d \pmod m \)。

5. 相乘性：若\( a \equiv b \pmod m \)，\( c \equiv d \pmod m \)，则\( ac \equiv bd \pmod m \)。

6. 乘方性：若\( a \equiv b \pmod m \)，则\( a^n \equiv b^n \pmod m \)。

7. 同倍性：若\( a \equiv b \pmod m \)，\( c \)为整数，则\( ac \equiv bc \pmod{mc} \)。

关于乘方有两个预备知识需要了解：

- 若\( A = a \times b \)，则\( M^A = M^{a \times b} = (M^a)^b \)。

- 若\( B = c+d \)，则\( M^B = M^{c+d} = M^c \times M^d \)。

被3、9、11除后的余数特征：

- 一个自然数\( M \)，\( n \)表示\( M \)各个数位上数字的和，则\( M \equiv n \pmod 9 \)或\( \pmod 3 \)。也就是说，一个数除以9（或3）的余数，等于它各位数字之和除以9（或3）的余数。

- 一个自然数\( M \)，\( X \)表示\( M \)各个奇数位上数字的和，\( Y \)表示\( M \)各个偶数位上数字的和，则\( M \equiv Y-X \pmod{11} \)，或者\( M \equiv 11-(X-Y) \pmod{11} \)。

还有一个重要的定理——费尔马小定理：如果\( p \)是质数，\( a \)是自然数，且\( a \)不能被\( p \)整除，那么\( a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \)。

比如\( p=5 \)，\( a=2 \)，那么\( 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 5 \)，确实是成立的。这个定理在奥数题中偶尔会出现，需要记牢。

把这六部分内容串联起来，就形成了小升初数学知识体系的核心框架。数列求和打基础，计数原理练思维，数论部分靠积累，整除和余数靠熟练。每一部分都有固定的题型和套路，只要把概念理解透、公式记牢、多做练习，吃透这些题型并不难。